Teknoloji

Herhangi Bir Sayı Neden 0’a Bölünmez?

Matematik başlı başına garip bir bilim dalı, çünkü doğanın en kadim gizemlerine ışık tutuyor. Kimine kadar baskı kimine tarafından ise epeyce eğlenceli bir ders olan matematikte sıfır sayısının da özel bir yeri var. Zira akıldan çıkmayan matematik kurallardan biri de bir sayıyı sıfıra bölemeyeceğinizdir.

Hakiki sayılarda, yani rakam doğrusundaki bütün sayılar kümesinde bir sayının sıfır ile bölümü bize okullarda tanımsız diye öğretildi. Peki niçin bir sayıyı sıfıra bölerseniz sonuç tanımsız olur hiç merak ettiniz mi? Gelin isterseniz bu sorunun cevabına birlikte bakalım.

Bir rakam niçin 0’a bölünmez?

bir sayı neden sıfıra bölünmez

Herhangi bir gerçek sayının sıfıra bölümü tanımsızdır. Bölme işleminde sıfır ile bölüm tanımlı değildir. Hem ebedi da değildir. Bölümün sonucu artı sonsuz ya da olumsuz sonsuz olabilir. İki baki da bir hakiki sayı belirtmez, dolayısıyla kesinkes söyleyebiliriz oysa, sayı bölü sıfır tanımsızdır. 

Örneğin 10 sayısını sıfıra böldüğünüzde elinize ne geçtiğini dikkate almak için; 10’u 5’e bölmekle başlayalım. Bu işlemin cevabı 2 olur. Peki ya 10’u daha küçük bir rakamla, 2’yle bölseydiniz ne olurdu? Daha büyük bir rakam olan 5’i elde ederdiniz. Peki ya 10’un 1’e bölünmesi? 

matematik

Yine daha büyük bir rakam çıkar. 10. ½’ye bölünen 10, 20 eder. ¼’e bölündüğü süre 40; 1/32’e bölündüğü zamansa 320 yapar. Ne vakit daha küçük bir sayıya bölseniz, karşılığında daha büyük bir sayı elde edersiniz. Yani, bölen sayı 0’a ne dek yaklaşırsa; cevabınız öyle sonsuzluğa yaklaşır. Bu yüzden gerçekte 10’u 0’a bölseydiniz, ölümsüzlük elde ederdiniz değil mi?

Bu işlemde bir netice elde etmek namına yanlızca sınır alabilirsiniz. (Rakam / X), x bu arada sıfıra biçiminde ve bu fonksiyonun davranışını inceleyebilirsiniz. Oysa burada da karşımıza tek bir limit değeri çıkmaz, çünkü limitler sağdan ve soldan farklıdır.Sıfıra sağdan yaklaşırken, fonksiyonun değeri pozitif olarak sonsuza içten gider. Baki bir kısaltmadır, anlamı ise, sonucun herhangi bir X reel sayısından yüksek olduğu, kesintisiz büyüdüğü ve dolayısıyla hiçbir vakit belirli olmadığıdır. Tek söyleyebileceğiniz, istediğiniz her hakiki sayıdan büyük bir sonuç elde edebileceğinizdir. 

matematik sıfır ile limit

Sıfıra soldan yaklaşırken ise, durum negatif yönde aynıdır. Rakam mutlak değerce çok büyür oysa negatifdir, dolayısıyla küçülür. Belirleyebileceğiniz herhangi bir negatif reel sayıdan daha ufak bir sayıdır, dolayısıyla eksi sonsuzdur denir. Söylediğimiz gibi, X/0’ın hiçbir değeri yoktur, tanımlı bir işlem değildir. Sıfır ile asla bölme yapamazsınız.

Zaten baki da hakiki sayılar kümesinde tanımlı bir sayı olmadığından, kesin olarak tanımsızdır. Sıfır bölü sıfır, bir üzeri sonsuz, sonsuz bölü baki, ebedi eksi baki birer belirsizliktir. Tanımsız değildir. Bu işlemleri yapabilmek için belirsizliğe niçin olan durumu ortadan kaldırıp sonucu bulabiliriz.

Sıfıra bölme işlemi, yanıtını bulamadığınız bir işlemdir, bu nedenle işlemin sonucu tanımsızdır. Bölme ve çarpmanın birbiriyle arasındaki ilişkiye bakacak olursak nedenini anlayabilirsiniz. 6’yı 3’e bölerseniz, yanıt 2’dir, çünkü 2 çarpı 3 = 6 olur. 6’yı sıfıra bölerseniz, “Sıfır çarpı 6’yı hangi rakam verir?” Sorusunu sorarsınız. Bunun cevabı elbette bir sayı değildir, çünkü herhangi bir reel sayının sıfır çarpı sıfırın 6 olmadığını biliyoruz. Bu yüzden sıfıra bölmenin tanımsız olduğunu söylüyoruz, çünkü öteki sayılarla bölme tutarlı değildir.

Riemann Küresi ve Stereografik Yansıtma

riemann küresi

Düşünün fakat, bütün yönlerde sonsuzluğa giden ve apaçık bir merkezi bulunmayan iki boyutlu bir düzlem var. Derhal bu düzlemi büküp küreye çevirdiğinizi ve sıfırın güney kutbu olduğunu, köşelerin de en üstte; kuzey kutbu olan yerde birleştiğini hayal edin. Hemen, bir diğer ölümsüz iki boyutlu düzlem alın ve onu ekvatoru kesecek şekilde yerleştirin. Bu düzlem üzerinde seçtiğiniz herhangi bir nokta, kürenin Kuzey Kutbu’na düz bir çizgiyle bağlanabilir. Eğer seçtiğiniz nokta, kürenin dışındaysa; bağlantı çizgisi küreyle kuzey yarımkürede kesisecek. Eğer kürenin içerisindeyse, güney yarımkürede kesisecek.

Hayal ettiğiniz şey, bir Riemann Küresi. Düzlemdeki her noktayı, küredeki bir kesişim noktasıyla ilişkilendirmeyi kapsayan bu yönteme stereografik yansıtma deniyor. Esas olarak, düzlem üstünde bulabileceğiniz herhangi bir noktayı küre üstünde bulabilirsiniz. Buna ölümsüzlük da dahil. Düzlemde sonsuzluğa ne kadar yaklaşırsanız, kürenin Kuzey Kutbu’na da böylece yaklaşırsınız.

Diğer bir örnekle açıklayacak olursak;

herhangi bir sayıyı sıfıra bölersek ne olur

Portakallara elma eklerseniz ne olur? Kuşkusuz bir manâ ifade etmiyor, bu yüzden en basit şey, akla yatkın olmadığını ya da bir matematikçinin dediği gibi, “tanımsız” olduğunu söylemektir. Belki de ona bakmanın en iyi yolu budur. Matematikte, “XYZ işlemi tanımsız” gibi bir ifade gördüğünüzde, bunu kafanızda “XYZ işlemi bir amaç açıklama etmiyor” şeklinde düşünebilirsiniz.

Bunu düşünmenin başka bir yolu da bir kutuyu elmalarla doldurmayı hayal etmektir. Bir kutuda 100 elma olduğunu varsayalım. Şu Anda bu elmaların yarısı büyüklüğündeki elmalarla doldurmayı deneyin. Kutuya 200 tane elma koyabilirsiniz. Şu Anda hiç yer kaplamayan özel, sihirli bir elma düş edin. Kutuya kaç tane koyabilirsiniz?

Bu işlemin herhangi bir cevabı değil. bu nedenle matematikçiler 0’a bölünen sayıları “tanımsız” olarak adlandırır. Bir Takım araştırmacılar bu işlemi ölümsüz olarak görme eğilimindedir, ama bu işlem bütün olarak içten değildir. Başta bir sayının sıfıra bölümü birincil bakışta sonsuz gibi düşünülebilir. Çünkü bölen rakam küçüldükçe netice büyür. Mesela 10 sayısını her adımda daha minik sayılara bölersek sonucun büyüdüğünü görürüz.

10 / Bölen Rakam = Sonuç 10 / 1 = 10 10 / 0,1 = 100 10 / 0,01 = 1000 10 / 0,001 = 10000 10 / 0,0001 = 100000 10 / 0,00001 = 1000000 10 / 0,000001 = 10000000 Bağıntı = 10/x = y

Gördüğünüz gibi bölen rakam ne değin ufak olursa sonuç pek büyük olmaktadır. Yani bölen sayı sıfıra yaklaştıkça sonuç da sonsuza yaklaşmaktadır. O halde bir sayının sıfıra bölümü baki olmalıdır.

matematikte sıfıra bölme

Bu durumun neden doğru olmadığını kavramak için öncelikle bölme işleminin ne açıklama ettiğini bilmemiz gerekir. Mesela 10 sayısını 2 sayısına böldüğümüzde sonuç 5 çıkar. Bu işlem bize 10’un içinde kaç tane 2 olduğunu gösterir. Hem bölme işlemi matematiksel olarak çarpma işleminin tersidir. Bölme ve çarpma işlemlerinin sonucunu birbirine eşdeğer olacak şekilde düzenlersek çarpımsal ters kavramı ortaya çıkar.

10 / 5 = 2 = 10 x 1/5 10 / 2 = 5 = 10 x 1/2 10/a = 10 x 1/a

İşlemlerdeki 1/a sayısına çarpımsal ters denir. ilk işlemde 5’in çarpımsal tersi 1/5, ikinci işlemde 2’nin çarpımsal tersi 1/2’dir. Yani bir sayının çarpımsal tersi 1’in bu sayıya bölümüdür (a’nın çarpımsal tersi 1/a ‘dır). Peki çarpımsal ters ne işimize yarayacak? Bir sayının çarpımsal tersi ile çarpımı tekrar tekrar 1 sonucunu verir.

Rakam x Çarpımsal Ters = 1 5 x 1/5 =1 2 x 1/2 = 1 4000 x 1/4000 = 1 a x 1/a = 1

Bu durumda sıfırın çarpımsal tersi 1/0 olmalı ve çarpımsal tersi ile çarpımı da 1’i vermelidir (0 x 1/0 = 1). İşte sorun burada ortaya çıkar. Çünkü bir sayının sıfır ile çarpımı sıfırdır. böylece sıfırın çarpımsal tersi yoktur. Yani 1/0 tanımsızdır. Sayıların sıfıra bölüm işlemlerini çarpım olarak yazarsak

5/0 = 5 x 1/0 10/0 = 10 x 1/0 -3/0 = -3 x 1/0

1/0 tanımsız olduğu için tüm sonuçlar tanımsızdır. Yani bir sayının sıfıra bölümü tanımsızdır. İlk kısımda bahsettiğim ve akla yatkın gibi görünen 1/0 = Ölümsüz düşüncesi hala rasyonel gibi gelebilir. Lakin bu şart olumsuz sayılar için de benzer sonucu vermektedir. Bir sayıyı sıfıra yaklaşan olumsuz sayılara böldüğümüzde netice eksi sonsuza yaklaşır.

matematikte limit

10 / Olumsuz Bölen Rakam = Netice 10 / -1 = -10 10 / -0,1 = -100 10 / -0,01 = -1000 10 / -0,001 = -10000 10 / -0,0001 = -100000 10 /- 0,00001 = -1000000 10 /- 0,000001 = -10000000 Bağıntı = 10/-x = -y 

böylece 1/0 sonucu ölümsüz ise 1/-0 sonucu da eksi ölümsüz olmalıdır. Sıfır nötr bir sayı olduğundan 1/0 için keza artı baki hem de eksi ölümsüz sonuçları ortaya çıkar. Artı ölümsüz ile eksi ölümsüz birbirine eşit olmadığından bu düşüncenin hatalı olduğu görülür.

Tüm bu işlemler kafanızı karıştırdıysa basit bir mantık üzerinden gidelim. Önceki kısımlarda bahsettiğim gibi mesela 10/5 işlemi 10’un içinde kaç tane 5 olduğunu gösterir. Buna göre 10/0 işlemi 10’nun içinde kaç tane sıfır olduğunu göstermelidir. 10’un içinde kaç tane sıfır vardır? 1, 10, sonsuz… bilmiyoruz çünkü netice matematiksel olarak tanımlanmamıştır. böylece bir sayıyı sıfıra bölersek sonuç tanımsızdır.

Bu yazımızda sizlerle bir sayının neden sıfıra bölünemediğini bütün detaylarıyla açıklamaya çalıştık. Meraklıları için yardımsever olduğunu düşündüğümüz bu yazıda, bir sayıyı sıfıra böldüğümüzde neler olur, netice tanımsız mı yoksa ölümsüz mu sorularına yanıt aradık. Bir sonraki yazımızda buluşuncaya dek sağlıcakla kalın.

Benzer Haberler

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Başa dön tuşu